Question

求

∫

π 2 - π 2

tan2x[sin22x+ln(x+

1+x2

)]dx．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將被積函數(shù)利用定積分的運(yùn)算法則化為兩個(gè)函數(shù)的定積分，然后判斷h（x）=tan²xln（x+

1+x2

）為奇函數(shù)，則它對稱區(qū)間的定積分為0，然后對剩下的部分利用倍角公式化簡．

解答： 解：原式=

∫

π 2 - π 2

tan2xsin22xdx+

∫

π 2 - π 2

tan2xln(x+

1+x2

)dx，設(shè)h（x）=tan²xln（x+

1+x2

），因?yàn)閔（-x）=tan²xln（-x+

1+x2

）=tan²xln

1

x+ 1+x2

=-h（x），所以h（x）為奇函數(shù)，所以

∫

π 2 - π 2

tan2xln(x+

1+x2

)dx=0，
所以原式=

∫

π 2 - π 2

tan2xsin22xdx
=

∫

π 2 - π 2

sin2x

cos2x

4sin2xcos2xdx
=

∫

π 2 - π 2

4sin4xdx
=4

∫

π 2 - π 2

(1-cos2x)2dx
=4

∫

π 2 - π 2

(1-

1+cos2x

2

)2dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-cos2x)2dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-2cos2x+cos22x)dx
=

∫

π 2 - π 2

(1-2cos2x+

1+cos4x

2

)dx
=

∫

π 2 - π 2

(

3

2

-2cos2x+

1

2

cos4x)dx
=(

3

2

x-sin2x+

1

8

sin4x)

|

π 2 - π 2

=

3

2

π．

點(diǎn)評：本題考查了定積分的計(jì)算；用到了：奇函數(shù)對稱區(qū)間的定積分為0以及定積分是運(yùn)算法則，關(guān)鍵是將被積函數(shù)利用倍角公式降次，使得容易找到被積函數(shù)的原函數(shù)．