Question

5．已知極坐標(biāo)的極點與直角坐標(biāo)系原點重合，極軸與x正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線E的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$．
（1）求曲線C與曲線E的普通方程；
（2）曲線C上的點到曲線E的最大距離．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)即可求出曲線C與曲線E的普通方程；
（2）利用平移切線法求出直線和橢圓相切的切線方程即可曲線C上的點到曲線E的最大距離．

解答 解：（1）消去參數(shù)α得曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
消去參數(shù)t得曲線E的普通方程為2x+y-1=0；
（2）設(shè)與曲線E的平行的直線方程為2x+y+c=0，
當(dāng)直線2x+y+c=0與$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$相切時，
消去y得17x²+16cx+4c²-4=0，
則判別式△=（16c）²-4×17（4c²-4）=0，
整理得c²=17，即c=±$\sqrt{17}$，
即和橢圓相切的直線為2x+y±$\sqrt{17}$=0，
則2x+y+$\sqrt{17}$=0與直線2x+y-1=0的距離就是曲線C上的點的坐標(biāo)為P（x，y），到曲線E的最大距離．
即d=$\frac{|\sqrt{17}+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{17}+1}{\sqrt{5}}$．

點評 本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，以及利用平移切線法求兩曲線之間的距離問題．