Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{e}$-ax²+（2a-1）x-a，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若a=0，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，得到a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）在[1，+∞）遞增，結(jié)合充分必要條件判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=e^x-1-x，則f′（x）=e^x-1-1，故f′（1）=0，
又f（1）=0，故切線方程是y=0；
（Ⅱ）易知f′（x）=e^x-1-2ax+2a-1，f″（x）=e^x-1-2a，
若f″（x）≥0，得a≤$\frac{{e}^{x-1}}{2}$，即a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）在[1，+∞）遞增，
故f′（x）≥f′（1）=0，于是f（x）在[1，+∞）遞增，
故f（x）≥f（1）=0，符合題意，
故a≤$\frac{1}{2}$是原不等式成立的充分條件，下面證明必要性，
a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，令f″（x）=0，解得：x=ln（2a）+1，
故x∈（1，ln（2a）+1）時(shí)，f′（x）＜0，故f′（x）在x∈（1，ln（2a）+1）遞減，
故f′（x）＜f′（0）=0，從而x∈（1，ln（2a）+1）時(shí)，f（x）遞減，
故f（x）＜f（1）=0，與題設(shè)矛盾，不合題意，
綜上，a的范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．