已知橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a＞1)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線C：y2=2px以F2為焦點且與橢圓相交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），直線F1M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M、N的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若M、N兩點恒在該橢圓內(nèi)部，求橢圓離心率的取值范圍．
（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距c=
a2-(a2-1)
=1（1分）
所以橢圓焦點為F1（-1，0）F2（1，0）（2分）
又拋物線C的焦點為(
p
2
，0)∴
p
2
=1，p=2，∴C：y2=4x（3分）
∵M（x1，y1）在拋物線C上，
∴y12=4x1，直線F1M的方程為y=
y1
x1+1
(x+1)（4分）
代入拋物線C得y12（x+1）2=4x（x1+1）2，即4x1（x+1）2=4x（x1+1）2∴x1x2-（x12+1）x+x1=0，（5分）
∵F1M與拋物線C相切，∴△=（x12+1）2-4x12=0，（6分）∴x1=1，∴M、N的坐標(biāo)分別為（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N兩點在橢圓內(nèi)部，∴|F1M|+|F2M|＜2a（9分）
即
22+22
+2＜2a，∴a＞
2
+1，（11分）
∴
1
a
＜
1
2
+1
=
2
-1，（12分）
∵c=1，∴離心率e=
1
a
＜
2
-1，（13分）
又e＞0，∴橢圓離心率的取值范圍為(0，
2
-1)（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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