Question

已知函數(shù)f(x)=px-

p

x

-2lnx，g(x)=

2e

x

，
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）若p²-p≥0，且至少存在一點(diǎn)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后求出f'（1）的值即為切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可求出切線方程；
（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)，令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需h（x）≥0，然后利用參數(shù)分離法求解恒成立問(wèn)題即可；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）與g（x）在[1，e]上的單調(diào)性，求出最值，只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]成立，求出p的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)p=2時(shí)，函數(shù)f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f(1)=2-2-2ln1=0．f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，…（2分）
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即y=2x-2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需h（x）≥0…（6分）
即h(x)=px2-2x+p≥0?p≥

2x

x2+1

，故正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數(shù)，
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；x=1時(shí)，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]，…（10分）
①當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸x=

1

p

在y軸的左側(cè)，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x，因?yàn)閤∈[1，e]，所以h(x)＜0，f′(x)=-

2

x

＜0，此時(shí)，f（x）在x∈[1，e]內(nèi)是減函數(shù)．
故當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；…（12分）
②當(dāng)p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g(x)min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

，
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．