Question

某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品的零售價(jià)定為p元，則銷售量Q（單位：件）與零售價(jià)p（單位：元）有如下關(guān)系Q=8300-170p-p²．問該商品零售價(jià)定為多少元時(shí)，毛利潤L最大，并求出最大毛利潤．

Answer 1

解：由題意知：毛利潤等于銷售額減去成本，即
L（p）=pQ-20Q=Q（p-20）=（8300-170p-p²）（p-20）
=-p³-150p²+11700p-16600，…（4分）
所以L′（p）=-3p²-300p+11700．…（6分）
令L′（p）=0，解得p=30或p--130（舍去）．…（9分）
此時(shí)，L（30）=23000．…（11分）
因?yàn)樵趐=30附近的左側(cè)L′（p）＞0，右側(cè)L′（p）＜0．
所以L（30）是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L（30）是最大值，…（13分）
答：零售定為每件30元時(shí)，最大毛利潤為23000元．…（14分）
分析：毛利潤等于銷售額減去成本，可建立函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的極值點(diǎn)，利用極值就是最值，可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由于函數(shù)為單峰函數(shù)，故極值就為函數(shù)的最值．