Question

如圖所示，某圓柱狀銅制鑄件，內部為正三棱柱狀中空，正三棱柱的上下底面三角形A′B′C′和三角形ABC分別內接于圓柱的上下底面，已知圓柱的底面直徑為12cm，高為10cm，求此銅制鑄件的體積V．（結果保留π和根號即可）

Answer 1

分析：由已知中圓柱狀銅制鑄件，內部為正三棱柱狀中空，我們易根據(jù)圓柱的底面直徑為為12cm，分別求出圓柱的底面面積和正三棱柱的底面面積，再由高為10cm，我們分別計算出圓柱的體積和正三棱柱的體積，相減后即可得到銅制鑄件的體積V．

解答：解：圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm
V_圓柱=S•h=πr²h=360πcm³，…（3分）
設底面正三角形邊長為a
∵r=

3

3

a，則

3

r=a
∴a=

3

×6=6

3

cm，
∴S_△ABC=

3

4

a2=27

3

cm²，…（8分）
∴V_棱柱=S•h=270

3

πcm³，…（10分）
∴V=V_圓柱-_棱柱=（360π-270

3

π）cm³
答：此銅鑄件的體積為=（360π-270

3

π）cm³

點評：本題考查的知識點是旋轉體--圓柱的幾何的體積，棱柱的體積，及組合體的體積，其中根據(jù)已知中圓柱的底面直徑為為12cm，高為10cm，分別計算出圓柱的體積和正三棱柱的體積，是解答本題的關鍵．