Question

設雙曲線4x²-y²=1的兩條漸近線與直線x=

2

圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）為D，P（x，y）為D內的一個動點，則目標函數z=

1

2

x-y的最小值為

-

3 2

2

．

Answer 1

分析：根據雙曲線方程得出它的漸近線方程為y=±2x，由此作出兩條漸近線與直線x=

2

圍成的三角形區(qū)域，即如圖的△AOB及其內部．再將目標函數z=

1

2

x-y對應的直線l進行平移，得當l經過點B時z達到最小值，由此即可得到z=

1

2

x-y的最小值．

解答：解：∵雙曲線的4x²-y²=1，化成標準方程為

x2

1 4

-y2=1
∴該雙曲線的漸近線方程為y=±2x
因此，作出兩條漸近線與直線x=

2

圍成的三角形區(qū)域，如圖所示
得到如圖的△AOB及其內部，
其中A（

2

，-2

2

），B（

2

，2

2

），O為坐標原點
設目標函數z=F（x，y）=

1

2

x-y，對應直線l
將直線l進行平移，可得當l經過點B（

2

，2

2

）時，z達到最小值
∴z_min=F（

2

，2

2

）=

1

2

×

2

-2

2

=-

3 2

2

故答案為：-

3 2

2

點評：本題給出雙曲線的漸近線與直線x=

2

圍成的三角形區(qū)域，求目標函數z=

1

2

x-y的最小值．著重考查了雙曲線的簡單幾何性質與簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題．