Question

16．已知函數(shù)y=a^x+b（a＞1，b＞0）的圖象經(jīng)過點P（1，3），則$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過點P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a-1）+b=2．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過點P（1，3），
∴3=a+b，a＞1，b＞0．
∴（a-1）+b=2．
∴$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a-1+b）（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$）
=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a-1}$+$\frac{a-1}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a-1}•\frac{a-1}}$）=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a-1=2b=$\frac{4}{3}$時取等號．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．