Question

點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程
（2）過定點D（m，0）（m＞0）做直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D關于坐標原點的對稱點，求證：∠AED=∠BED．
（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設M(x，y)，則P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)則可得，

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求
（2）要證明∠AED=∠BED，根據直線的傾斜角與斜率的關系，只要證K_AE=-K_BE即可
（3）假設存在滿足條件的直線，根據垂徑定理得性質可知，要使正弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可

解答：解：（1）設M(x，y)，則P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)
則可得，

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)
∴

HP

•

PM

=3x-

3y2

4

=0
所以：y²=4x
（2）當AB垂直x軸時，A、B關于x軸對稱，所以∠AED=∠BED
當AB存在斜率時，設直線AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y2=4x y=k(x-m) k2x2-2(mk2+2)x+k2m2=0 x1+x2= 2(mk2+2) k2 x1x2=m2

kAE+kBE=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

k(x1-m)(x2+m)+k(x2-m)(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=0
所以k_AE=-k_BE
所以∠AED=∠BED
（3）假設存在垂直x軸的直線x=n，弦長為d
則

1 4 d2= 1 4 AD2-( x1+m 2 -n)2 =(n-m+1)x1+mn-n2

當m=1時不存在
當m＞0且m≠1時，存在直線x=m-1

點評：本題以向量得數量積得坐標表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關系得求解．屬于綜合試題．