Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），若以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，設(shè)點P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程可得，進而得到傾斜角．由曲線C的極坐標方程得到：ρ²=2ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），利用ρ²=x²+y²，即可化為直角坐標方程．
（2）將|PA|+|PB|轉(zhuǎn)化為求|AB|來解答．

解答 解　（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程可得：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則該直線的斜率為：$\sqrt{3}$．
設(shè)傾斜角為α，則tanα=$\sqrt{3}$，α∈[0，π）．所以α=$\frac{π}{3}$，即：直線l傾斜角為$\frac{π}{3}$；
曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$），
所以ρ²=2ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），
所以曲線C的直角坐標方程為（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1．
（2）容易判斷點P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在直線l上且在圓C內(nèi)部，所以|PA|+|PB|=|AB|，直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以圓心（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
所以|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即|PA|+|PB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．