（2013•德州一模）已知銳角α，β滿足3tanα=tan（α+β），則tanβ的最大值為
3
3
3
3
．
分析：由條件利用兩角和的正切公式化簡可得tanβ=
2tanα
1+3tan2α
=
2
1
tanα
+3tanα
，再利用基本不等式求得它的最大值．
解答：解：∵已知銳角A，B滿足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，
且
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=3tanα，化簡可得 tanβ=
2tanα
1+3tan2α
=
2
1
tanα
+3tanα
≤
2
2
3
=
3
3

當(dāng)且僅當(dāng)
1
tanα
=3tanα 時(shí)，取等號，故tanβ的最大值為
3
3
．
故答案為：
3
3
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，利用基本不等式求式子的最大值，屬于中檔題．
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3
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