【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.
(Ⅰ)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.
【答案】解:(Ⅰ)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1 , 公差為d,則an=a1+(n﹣1)d,
則an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3 ,
=(an﹣3+an+3)+(an﹣2+an+2)+(an﹣1+an+1),
=2an+2an+2an ,
=2×3an ,
∴等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;
(Ⅱ)證明:由數(shù)列{an}是“P(2)數(shù)列”則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an , ①
數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an , ②
由①可知:an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1 , ③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1 , ④
由②﹣(③+④):﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1 ,
整理得:2an=an﹣1+an+1 ,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
【解析】(Ⅰ)由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=(an﹣3+an+3)+(an﹣2+an+2)+(an﹣1+an+1)═2×3an , 根據(jù)“P(k)數(shù)列”的定義,可得數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;
(Ⅱ)由“P(k)數(shù)列”的定義,則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an , an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an , 變形整理即可求得2an=an﹣1+an+1 , 即可證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握通項(xiàng)公式:或;如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】校運(yùn)動(dòng)會(huì)高二理三個(gè)班級的3名同學(xué)報(bào)名參加鉛球、跳高、三級跳遠(yuǎn)3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,每名同學(xué)都可以從3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇一個(gè),且每個(gè)人的選擇相互獨(dú)立.
(1)求3名同學(xué)恰好選擇了2個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率;
(Ⅱ)設(shè)選擇跳高的人數(shù)為試求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓: ,點(diǎn).
(1)求經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求線段長度的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),證明:當(dāng)n∈N*時(shí),
(Ⅰ)0<xn+1<xn;
(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤ ;
(Ⅲ) ≤xn≤ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若 =λ +μ ,則λ+μ的最大值為( )
A.3
B.2
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x∈[-,],
(1)求函數(shù)y=cosx的值域;
(2)求函數(shù)y=-3sin2x-4cosx+4的值域.
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【題目】定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足,且是區(qū)間上的遞增函數(shù).
(1)求的值;
(2)求證: ;
(3)解不等式.
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