Question

設(shè)α∈(0，

π

2

)，函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，當(dāng)x≥y時，f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(

1

2

)，f(

1

4

)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=

3

sin(α-2x)+cos(α-2x)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=1，y=0代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可求得f(

1

2

)的值，令x=

1

2

，y=0代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可求得f(

1

4

)的值．
（Ⅱ）先令x=1，y=

1

2

代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可表示出f（

3

4

），然后令x=

3

4

，y=

1

4

和f（

3

4

）的值代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)中，即可得到sinα=

1

2

，再結(jié)合α的范圍可求得到答案．
（Ⅲ）先將α的值代入根據(jù)兩角和與差的公式進行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得到單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，y=0，f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=

1

2

，y=0，f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα=sin2α．
（Ⅱ）令x=1，y=

1

2

，f(

3

4

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(

1

2

)
=sinα+（1-sinα）sinα
=-sin²α+2sinα．
令x=

3

4

，y=

1

4

，f(

1

2

)=f(

3

4

)sinα+(1-sinα)f(

1

4

)=-2sin3α+3sin2α
∴-2sin³α+3sin²α=sinα
∴sinα=

1

2

∵α∈(0，

π

2

)
∴α=

π

6

；
（Ⅲ）g(x)=

3

sin(

π

6

-2x)+cos(

π

6

-2x)
=2sin(

π

6

-2x+

π

6

)=2sin(

π

3

-2x)=2sin(2x+

2π

3

)
要使g（x）單調(diào)增區(qū)間，
則2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

?k∈z
∴單調(diào)增區(qū)間是：[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]?(k∈z)．

點評：本題主要考查兩角和與差的公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的單調(diào)性．考查考生對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和計算能力，三角函數(shù)的公式記憶是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的難點，平時一定要注意積累．