Question

7．已知函數(shù)$f（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）{x^3}$，若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]∪[2，+∞）$
• C． $[\frac{1}{2}，2]$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 可判函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，原不等式可化為|log₂a|≤1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解．

解答 解：∵$f（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）{x^3}$，∴f（-x）=（$\frac{1}{{e}^{x}}$-e^x）（-x）³
=（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）x³=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，
不等式f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），
等價(jià)為f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），即f（log₂a）≤f（1），
又當(dāng)x＞0時(shí)f′（x）=（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$）x³+3（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）x²＞0
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴不等式f（log₂a）≤f（1）可化為|log₂a|≤1，
即-1≤log₂a≤1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．