如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，當(dāng)二面角P-EC-D的平面角為
π
4
時(shí)，AE=（　�。�
分析：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于F，連接PF，由三垂線定理證出DF⊥CE，從而∠PFD為二面角P-EC-D的平面角，即∠PFD=
π
4
．等腰Rt△PDF中，得到PD=DF=1．矩形ABCD中，利用△EBC與△CFD相似，求出EC=2，最后在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，算出出BE=
3
，從而得出AE=2-
3
．
解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于F，連接PF
∵PD⊥平面ABCD，∴DF是PF在平面ABCD內(nèi)的射影
∵DF⊥CE，
∴PF⊥CE，可得∠PFD為二面角P-EC-D的平面角，即∠PFD=
π
4

Rt△PDF中，PD=DF=1
∵矩形ABCD中，△EBC∽△CFD
∴
DF
BC
=
CD
EC
，得EC=
CD•BC
DF
=2
Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BE=
CE2-BC2
=
3

∴AE=AB-BE=2-
3

故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中已知二面角的大小，求線段AE的長(zhǎng)．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角的平面角及求法等知識(shí)，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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