Question

20．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M，N兩點在雙曲線上，且MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=4|MN|，線段F₁N交雙曲線C于點Q，且|F₁Q|=|QN|，則該雙曲線的離心率為 （　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 運用雙曲線的對稱性由條件可設(shè)N的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，再由N，Q在雙曲線上，滿足雙曲線的方程，即可得到雙曲線的離心率．

解答 解：由2c=|F₁F₂|=4|MN|，可得|MN|=$\frac{1}{2}$c，
由MN∥F₁F₂，可設(shè)N（$\frac{1}{4}$c，t），
由|F₁Q|=|QN|，可得
Q為F₁N的中點，可得Q（-$\frac{3c}{8}$，$\frac{t}{2}$），
由N，Q在雙曲線上，可得$\frac{{c}^{2}}{16{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{9{c}^{2}}{64{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{4^{2}}$=1
消去t整理可得，e=$\sqrt{6}$．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程和運用，注意運用中點坐標(biāo)公式和點滿足雙曲線的方程，以及離心率的范圍，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．