Question

12．已知定義在[-1，1]上的函數f（x）的圖象關于原點對稱，且函數f（x）在[-1，1]上為減函數．
（1）證明：當x₁+x₂≠0時，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結合已知中函數的單調性，分x₁+x₂＞0時和x₁+x₂＜0時兩種情況討論，可證得當x₁+x₂≠0時，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，則f（m²-1）＞f（1-m），則-1≤m²-1＜1-m≤1，解得答案．

解答 證明：（1）∵定義在[-1，1]上的函數f（x）的圖象關于原點對稱，且函數f（x）在[-1，1]上為減函數．
當x₁+x₂＞0時，x₁＞-x₂，f（x₁）＜f（-x₂）=-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＜0，
此時$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
當x₁+x₂＜0時，x₁＜-x₂，f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＞0，
此時$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
綜上可得：當x₁+x₂≠0時，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜0；
解：（2）若f（m²-1）+f（m-1）＞0，
則f（m²-1）＞-f（m-1）=f（1-m），
故-1≤m²-1＜1-m≤1，
解得：m∈（-2，1），
∴實數m的取值范圍為 （-2，1）．

點評 本題考查的知識點是函數的單調性的應用，函數及其應用，分類討論思想，轉化思想，難度中檔．