【題目】如圖，菱形的邊長(zhǎng)為12，，與交于點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，由菱形的性質(zhì)可知和，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出，利用勾股定理的逆定理得出，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出平面，最后由線面垂直的性質(zhì)得出；

（2）根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)得出，，線面垂直的判定定理得出平面，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求二面角的公式，即可求出二面角的余弦值.

證明：（1）∵四邊形是菱形，且邊長(zhǎng)為12，，

∴，，

在中，，，

∴，又是中點(diǎn)，

∴，

又，

則，∴，

又平面，，

∴平面，

又∵平面，

∴．

解：（2）由題意，，，

又由（1）知，

且平面，，則平面，

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)?/span>、、軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，

由于，則，

易知，，，

故，，

設(shè)平面的法向量，則，

即令，

則，，，

由于已證平面，故平面的法向量為，

所以，

由圖知二面角為銳二面角，故其余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】高二某班共有45人，學(xué)號(hào)依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為5的樣本，已知學(xué)號(hào)為6、24、33的同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有兩個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的四棱錐中，底面為矩形，平面，，M，N分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學(xué)生在暑期社會(huì)活動(dòng)中針對(duì)人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問(wèn)卷的方式對(duì)100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.

（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；

（2）某商家為了鼓勵(lì)人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動(dòng)：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折. 已知某商品原價(jià)50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購(gòu)買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨(dú)立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】矩形中，，，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過(guò)程中直線與直線所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國(guó)家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調(diào)派醫(yī)務(wù)工作者前去支援，正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團(tuán)圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對(duì)這5人隨機(jī)進(jìn)行逐一“核糖核酸”檢測(cè)，只要出現(xiàn)一例陽(yáng)性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”．假設(shè)每人被確診的概率均為且相互獨(dú)立，若當(dāng)時(shí)，至少檢測(cè)了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值，則____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合計(jì)

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的頻率）：

①；②；③，評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁.試判斷設(shè)備的性能等級(jí).

（2）將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“次品”，將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認(rèn)定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱．

（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)是軸上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．如果相交，求出的交點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的任意兩項(xiàng)均不相等，且的定義域?yàn)?/span>；②數(shù)列的前的項(xiàng)的和對(duì)任意的都成立，則稱與具有“共生關(guān)系”．

（1）若，試寫出一個(gè)與數(shù)列具有“共生關(guān)系”的函數(shù)的解析式；

（2）若與數(shù)列具有“共生關(guān)系”，求實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，并寫出關(guān)于，，的表達(dá)式；

（3）若，求證：“存在每項(xiàng)都是正數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，使得與具有‘共生關(guān)系’”的充要條件是“點(diǎn)在射線上”．

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