Question

已知已知M={a|f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數(shù)解}，設D=M∩N，函數(shù)f（x）=

x+n

x2+m

是定義在R上的奇函數(shù)，則下列命題中正確的是

 

（填出所有正確命題的序號）
①m=（-∞，

3

2

]；
②N=（0，2）；
③D=（1，

3

2

]；
④n=0，m∈R；
⑤如果f（x）在D上沒有最小值，那么m的取值范圍是（

3

2

，+∞）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題①先研究函數(shù)f（x）=2sinax的周期和0附近單調區(qū)間[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]，然后比較[-

π

3

，

π

4

]與[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]，求出m的取值范圍，得到選項①不正確；
再將3^-|x-1|-b+1=0，變形為b=3^-|x-1|+1，研究函數(shù)值域，得到1＜b≤2，得到選項②不正確；
求M、N的交集，得到D=M∩N=（1，

3

2

]，選項③正確；
由函數(shù)f（x）的定義為R，得到x²+m≠0恒成立，從而有m＞0．得到故選項④不成立；
再變形研究函數(shù)f（x）取值情況，得到x+

m

x

無最大值，記g（x）=x+

m

x

，
則g（1）＞g(

3

2

)，得到m＞

3

2

．故知選項⑤正確．

解答： 解：選項①，
∵函數(shù)f（x）=2sinax的周期為

2π

|a|

，（a≠0）
∴函數(shù)f（x）=2sinax在區(qū)間[-

π

2|a|

，

π

2|a|

]上單調遞增，
∵f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)，
∴-

π

2|a|

≤-

π

3

，

π

4

≤

π

2|a|

，
∴|a|≤

3

2

．
∴a∈[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]．
∵M={a|f（x）=2sinax 在[-

π

3

，

π

4

]上是增函數(shù)}，
∴M=[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]∪(0，

3

2

]．
故選項①不正確．
選項②，
又∵3^-|x-1|-b+1=0，
∴b=3^-|x-1|+1＞1，
b=3^-|x-1|+1≤3⁰+1=2，
∴1＜b≤2．
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數(shù)解}，
∴N=（1，2]．
故選項②不正確．
選項③，
∵M=[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

]∪(0，

3

2

]，N=（1，2]，
∴D=M∩N=（1，

3

2

]．
故選項③正確．
選項④，
∵函數(shù)f（x）=

x+n

x2+m

是奇函數(shù)，
∴

-x+n

(-x)2+m

=-

x+n

x2+m

，
∴n=0，
∵函數(shù)f（x）的定義為R，
∴x²+m≠0恒成立，
∴m＞0．
故選項④不成立．
∴函數(shù)f（x）=

x

x2+m

=

1

x+ m x

，（m＞0）．
選項⑤，
要使f（x）在區(qū)間（1，

3

2

]上無最小值，
則要x+

m

x

無最大值，
記g（x）=x+

m

x

，
則g（1）＞g(

3

2

)，
∴1+m＞

3

2

+

2m

3

，
∴m＞

3

2

．
故選項⑤正確．
故答案為：③⑤．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、函數(shù)的定義域、值域、圖象與最值，本題有一定的綜合性，難度適中，屬于中檔題．