Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0，2]上是增函數(shù)，且f（x-4）=-f（x），給出下列結(jié)論：
①若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=4，則f（x₁）+f（x₂）＞0；
②若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=5，則f（x₁）＞f（x₂）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]內(nèi)恰有四個不同的實根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=-8或8；
④函數(shù)f（x）在[-8，8]內(nèi)至少有5個零點，至多有13個零點
其中結(jié)論正確的有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由“f（x）是奇函數(shù)且f（x-4）=-f（x）”轉(zhuǎn)化得到f（x-8）=f（x），即函數(shù)f（x）為周期8的周期函數(shù)，然后按照條件↓

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)且f（x-4）=-f（x），
∴f（x-8）=-f（x-4）=f（x），f（0）=0
∴函數(shù)f（x）為周期8的周期函數(shù)，根據(jù)題意可畫出這樣的圖形：如圖所示，

∵定義在R上的奇函數(shù)，在（0，2]上是增函數(shù)，
∴在（-2，0]上是增函數(shù)，
即（-2，2）上是增函數(shù)，
①若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=4，則0＜x₁＜2，2＜x₂＜4，0＜4-x₂＜2，-2＜x₂-4＜0，
∴f（4-x₂）＞f（x₂-4），
又∵f（x₁）=f（4-x₂），-f（x₂）=f（x₂-4），
∴f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）+f（x₂）＞0，故①正確；
②若0＜x₁＜x₂＜4且x₁+x₂=5，則0＜x₁＜

5

2

，

5

2

＜x₂＜5，觀察可知f（x₁）＞f（x₂），故②正確；
③若方程f（x）=m在[-8，8]內(nèi)恰有四個不同的實根x₁，x₂，x₃，x₄，當(dāng)m＞0時（如上方虛線所示），可知
左邊兩個交點之和為-12（因為兩個交點關(guān)于-6對稱，一個交點可表示為-6-x₀，另一個交點可表示為-6+x₀），y軸右邊的兩個交點之和為4，則x₁+x₂+x₃+x₄=-8，同理m＜0時x₁+x₂+x₃+x₄=8，故③正確；
④函數(shù)f（x）在[-8，8]內(nèi)有5個零點，故④不正確，
結(jié)論正確的有①②③，
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性周期性和單調(diào)性的綜合運用，綜合性較強題考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵在于由已知等式得到函數(shù)對稱軸方程和周期，屬中檔題