Question

若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a₁=1，點(diǎn)P（

Sn

，S_n+1）在曲線y=（x+1）²上．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，Tn表示數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和，若Tn≥a恒成立，求Tn及實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，sn+1=(

sn

+1)2，分別取n=1和n=2時(shí)，可得

a1+a2=(1+ a1 )2 a1+a2+a3=(1+ a1+a2 )2

可求a₂，a₃
（2）由sn+1=(

sn

+1)2可得

sn

-

sn-1

=1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求s_n，進(jìn)而可求
（3）由bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和即可求解T_n，結(jié)合單調(diào)性可求
，T_n的最小值，即可求解a的范圍

解答：解：（1）由題意可得，sn+1=(

sn

+1)2
分別取n=1和n=2時(shí)，可得

a1+a2=(1+ a1 )2 a1+a2+a3=(1+ a1+a2 )2

由a₁=1可得，a₂=3，a₃=5
（2）由sn+1=(

sn

+1)2可得

sn

-

sn-1

=1
∴{s_n}是以

s1

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴

sn

=1+(n-1)×1=n
∴s_n=n²
當(dāng)n≥2時(shí)，an=n2-(n-1)2=2n-1
∴a_n=2n-1
（3）∵bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

顯然T_n關(guān)于n單調(diào)遞增，當(dāng)n=1時(shí)，T_n有最小值T1=

1

3

∵T_n≥a恒成立
∴a≤

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性在求解最值中的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用