Question

（本題12分）如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB＝2，側(cè)棱BB₁的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F，
⑵    證：平面A₁CB⊥平面BDE；
⑵求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。

Answer 1

由正四棱柱得BDAC，BDAA_1，推出BD面A₁ AC ，A₁CＢＤ　，又A₁B₁面BB₁ C_１C，BE得到BEA₁B_1，又BEB₁C， BE面A₁B₁C，平面A₁CB⊥平面BDE；；
⑵ 

試題分析：
正四棱柱得BDAC，BDAA_1，又_，BD面A₁ AC ,又A₁ C面A₁ AC，
A₁CＢＤ　，又A₁B₁面BB₁ C_１C，BE面BB₁ C_１C，BEA₁B_1，又BEB₁C，
 BE面A₁B₁C，A₁ C面A₁B₁C， BEA₁ C，又_，A₁ C面BDE，又A₁ C面A₁BC
平面A₁CB⊥平面BDE；
⑵以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立坐標(biāo)系，則，，，
∴， 
∴，設(shè)A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK為A₁B與平面BDE所成角，∴ 
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。