Question

已知函數(shù)：
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)問：是否存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為.

Answer 1

(1) ;(2)存在，見解析.

解析試題分析：(1) 先由函數(shù)對(duì)稱軸為得函數(shù)在上單調(diào)減，要使函數(shù)在存在零點(diǎn)，則需滿足，解得； (2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2d/a/lniyt.png" style="vertical-align:middle;" />，由，得合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/af/2/1tfoo4.png" style="vertical-align:middle;" />，由，得不合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b0/0/1ia453.png" style="vertical-align:middle;" />，用上面的方法得或合題意.
試題解析：⑴ ∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴要函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)須滿足 
即  
解得  ，所以.
⑵ 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2d/a/lniyt.png" style="vertical-align:middle;" />，即  
∴
∴  ∴ 
經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/af/2/1tfoo4.png" style="vertical-align:middle;" />，即 
∴, ∴
經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去。
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b0/0/1ia453.png" style="vertical-align:middle;" />，即 
∴
∴  ∴或
經(jīng)檢驗(yàn)或或滿足題意。
所以存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)閰^(qū)間，且的長度為.
考點(diǎn)：零點(diǎn)存在性定理、二次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)值域、分類討論思想.