Question

已知函數f(x)＝ax²＋ln x(a∈R)

(Ⅰ)當a＝2時，求f(x)在區(qū)間[e，e²]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函數g(x)，f₁(x)，f₂(x)在公共定義域D上，滿足f₁(x)<g(x)<f₂(x)，那么就稱g(x)為f₁(x)，f₂(x)的“伴隨函數”.已知函數f₁(x)＝x²＋2ax＋(1－a²)ln x，f₂(x)＝x²＋2ax.若在區(qū)間(1，＋∞)上，函數f(x)是f₁(x)，f₂(x)的“伴隨函數”，求a的取值范圍.

Answer 1

要使p(x)<0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足p(1)＝－a－≤0⇒a≥－，所以－≤a≤.10分

又因為h′(x)＝－x＋2a－＝＝<0，h(x)在(1，＋∞)上是減函數.

h(x)<h(1)＝－＋2a≤0，所以a≤.

綜合可知a的取值范圍是13分

另解：(接在(*)號后)

先考慮h(x)，

h′(x)＝－x＋2a－＝－<0，

h(x)在(1，＋∞)上遞減，只要h(1)≤0，即－＋2a≤0，解得a≤.9分

而p′(x)＝對x∈(1，＋∞)，且a≤有p′(x)<0.10分

只要p(1)≤0，即a－－2a≤0，解得a≥－，所以－≤a≤，12分

即a的取值范圍是.13分