Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0，
（Ⅰ）若-

1

3

f(x)+c≥0在R上恒成立，求C的取值范圍．
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式

f(x)

-3x+6

＞

kx-6+k

x-2

 (k＞-1)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0，可知f（x）=0的兩個(gè)根為-3與2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出f（x）的解析式，代入-

1

3

f(x)+c≥0在R上恒成立，將其轉(zhuǎn)化為x²+x-6+c≥0在R上恒成立，從而進(jìn)行求解；
（Ⅱ）對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)行因式分解，討論k的取值范圍，進(jìn)行求解；

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：f（x）=0的兩個(gè)根為-3與2，
∴

-3+2=- b-8 a -3×2=- a(1+b) a

，∴

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18
由-

1

3

f（x）+c≥0在R上恒成立，
∴x²+x-6+c≥0在R上恒成立，
∴△=1-4（c-6）≤0，解得c≥

25

4

；
（Ⅱ）不等式

f(x)

-3x+6

＞

kx-6+k

x-2

 (k＞-1)．

-3(x2+x-6)

-3(x-2)

＞

kx-6+k

x-2

∴

x2+x-kx-k

x-2

＞0
∴（x+1）（x-k）（x-2）＞0，
∴當(dāng)k∈（-1，2）時(shí)，x∈（-1，k）∪（2，+∞）
當(dāng)k=2，x∈（-1，2）∪（2，+∞）；
當(dāng)k∈（2，+∞）時(shí)，x∈（-1，2）∪（k，+∞）；

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的恒成立問題，以及分類討論的思想，這是高考中長(zhǎng)考的熱點(diǎn)問題，本題綜合性大，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，計(jì)算量也比較大，是一道難題；