Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，滿足bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）變形已知結(jié)合正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，進而可得cosB=

1

2

，可得B=

π

3

；（Ⅱ）化簡可得f（x）=

3

sin（ωx+

π

6

），由周期可得ω=2，由x的范圍可得sin（2x+

π

6

）的范圍，進而可得最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

（Ⅱ）由已知f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx
=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

sin（ωx+

π

6

）
由已知得

2π

ω

=π，解得ω=2
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

6

）
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴當x=

π

6

時，f（x）的最大值為

3

當x=

π

2

時，f（x）的最大值為-

3

2

點評：本題考查兩角和與差的正余弦公式，涉及正弦定理和三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．