Question

【題目】已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，點在橢圓上，，，

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線：與橢圓交于，兩點，點，若，求斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據直線與圓相切，即可求得；在中，由余弦定理，結合，即可求得，故橢圓方程可解；

（2）聯立直線方程和橢圓方程，根據求得不等關系式；由，可得中點與構成的直線與垂直，據此求得的等量關系，結合兩者的不等關系，即可求得的取值范圍.

（1）依題意有，∴

由及橢圓的定義得.

由余弦定理得

即，

又，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）聯立可得，，則

，

即，①

又，

設的中點，

則，

∵，∴，

，

解得

代入①可得，

整理可得，

所求斜率的取值范圍為.