Question

如圖，若F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的兩個焦點．
（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
（2）若P是雙曲線左支上的點，且|PF₁|•|PF₂|=32，試求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義解答；
（2）利用雙曲線的方程求得|F₁F₂|和|PF₁|-|PF₂|，進而利用配方法求得|PF₁|²+|PF₂|²的值代入余弦定理求得cos∠F₁PF₂ 的值進而求得∠F₁PF₂．

解答： 解：（1）由題意，設M到兩個焦點的距離分別為m，16，則|16-n|=2×3，解得n=10或22；
（2）根據(jù)雙曲線的方程可知，a=3，b=4，c=5
則|F₁F₂|=2c=10，|PF₁|-|PF₂|=2a=2×3=6
∴|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=36，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100=|F₁F₂|²，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴△F₁PF₂的面積為

1

2

|PF₁|•|PF₂|=32×

1

2

=16．

點評：本題開考查了雙曲線的定義以及性質(zhì)的運用，關鍵是利用性質(zhì)正確得到|PF₁|、|PF₂|的位置關系，從而求面積．