【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域,判斷并證明的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)解不等式.
【答案】(1)是定義在上的奇函數(shù);(2)在其定義域上是增函數(shù);(3).
【解析】試題分析:(1)化簡(jiǎn)函數(shù)的即解析式為,求得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,再根據(jù),可得函數(shù)是定義在上的奇函數(shù);(2)設(shè)利用作差證明即可;(3)先判斷函數(shù)的奇偶性,根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、得到關(guān)于 的不等式,解不等式即可得結(jié)果.
試題解析:(1) ∵,∴ ,∴的定義域?yàn)?/span>.
∵的定義域?yàn)?/span>,
又 ,
∴,
∴是定義在上的奇函數(shù).
(2) 任取,且,則
,
∵,∴,
∴,又, ,
∴,∴,
∴函數(shù)在其定義域上是增函數(shù).
(3) 由得.
∵函數(shù)為奇函數(shù),
∴,∴.
由(2)題已知函數(shù)在上是增函數(shù).
∴ ,∴.
∴不等式的解集為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于難題.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點(diǎn):(1)一定注意函數(shù)的定義域(這一點(diǎn)是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤,不等掉以輕心);(2)注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性(往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù));(3)化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,定點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交線段于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線;
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若經(jīng)過的直線交曲線于不同的兩點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn), 之間),且滿足,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程為y=3x+b,求a,b的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值;
(3)設(shè)g(x)=x2﹣2x+2,若對(duì)任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),現(xiàn)從高一學(xué)生中抽取人做調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
已知在這人中隨機(jī)抽取一人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為,
(Ⅰ)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由;
(Ⅱ)針對(duì)問卷調(diào)查的名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人成立游泳科普知識(shí)宣傳組,并在這人中任選兩人作為宣傳組的組長(zhǎng),求這兩人中至少有一名女生的概率,參考公式: ,其中.參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an},滿足d>0,且a1+a2+a3=9,a1a3=5
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn= ,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,證明:Sn<3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2= ,F(xiàn)1是圓錐曲線C的左焦點(diǎn).直線l: (t為參數(shù)).
(1)求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與圓錐曲線C交于M,N兩點(diǎn),求|F1M|+|F1N|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓心在直線2x-3y-1=0上的圓與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),則圓的方程為( )
A.(x-2)2+(y+1)2=2
B.(x+2)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-2)2=2
D.(x-2)2+(y-1)2=2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=4x和點(diǎn)M(6,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l過點(diǎn)M,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn).
(1)求 ;
(2)若△OAB的面積等于12 ,求直線l的方程.
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