Question

8．己知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足關(guān)系：|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$|，k＞0，設(shè)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=f（k）
（Ⅰ）求f（k）的解析式；
（Ⅱ）$\overrightarrow a$能否和$\overrightarrow b$垂直？$\overrightarrow a$能否和$\overrightarrow b$平行？若不能，則說明理由；若能，則求出k值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，且k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$|，k＞0，兩邊平方化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得4k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2k²+2，從而可求f（k）；
（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即有$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=0是否有解，來判斷$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$是否垂直；若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|．即$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=1，解方程即可判斷．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$|，k＞0，
所以（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）²，
化簡(jiǎn)可得4k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2k²+2，
由f（k）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，可得
f（k）=$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）；
（2）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即有$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=0無解，
因此$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$不可能垂直；
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|．
即$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$）=1，
解得k=1，
綜上，$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$不可能垂直；
當(dāng)$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$平行時(shí)，k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查了平面向量的垂直與平行的坐標(biāo)表示：$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$?x₁x₂+y₁y₂=0；$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$?x₁y₂-x₂y₁=0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．