Question

利用定積分計(jì)算橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)所圍成的面積．

Answer 1

分析：依據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只要求出橢圓在第一角限內(nèi)部分的面積即可，利用定積分的幾何意義，即求出s=4

∫

a 0

ydx=4

∫

a 0

a

b

a2-x2

dx即得．

解答：解：因?yàn)闄E圓

x2

a2

+

y2

b2

=1關(guān)于x軸和y軸都是對(duì)稱的，
所以所求之面積為s=4

∫

a 0

ydx=4

∫

a 0

a

b

a2-x2

dx
令x=asinθ．(0≤θ≤

π

2

)
則

a2-x2

=

a2-a2sin2θ

=acosθ，
dx=acosθdθ
∴s=4

∫

π 2 0

b

a

•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab

∫

π 2 0

(cosθ)2dθ=4ab

∫

π 2 0

1+cos2θ

2

dθ
=2ab[

π

2

+

∫

π 2 0

cos2θdθ]=2ab•

π

2

=πab．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用定積分求面積，其關(guān)鍵是確定出被積函數(shù)和積分的上、下限．一般是應(yīng)先根據(jù)題意，借助圖形的直觀性確定出被積函數(shù)，求出兩條曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)確定積分的上、下限，進(jìn)而由定積分求出其面積．