Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₁：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓C₁相交于點E，F(xiàn)兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出焦點坐標(biāo)，再利用拋物線的定義和點M在拋物線上即可得到點M的坐標(biāo)；利用點M在橢圓C₁上滿足橢圓的方程和c²=a²-b²即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，由點F滿足，及，，故四邊形AEBF的面積S=S_△BEF
+S_△AEF==，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（1）由拋物線C₁：x²=4y的焦點，得焦點F₁（1，0）．
設(shè)M（x，y）（x＜0），由點M在拋物線上，
∴，，解得，．
而點M在橢圓C₁上，∴，化為，
聯(lián)立，解得，
故橢圓的方程為．
（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，
把y=kx代人，可得，x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且．
，，
故四邊形AEBF的面積S=S_△BEF+S_△AEF==
=≤=．
當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號．
∴四邊形AEBF面積的最大值為．
點評：本題綜合考查了橢圓拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積計算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強的推理能力和計算能力．