Question

13．若函數(shù)f（x）$≡\sqrt{3}$sinωx+cosωx的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后所得的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱也關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{16}$，0）對(duì)稱，則ω的值可以是（　　）

• A． 2
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可得ω=-3k-1，k∈Z，且ω=8-48k₁，k₁∈Z，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵把函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后所的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin[ω（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$），
∵根據(jù)所得的函數(shù)為偶函數(shù)，即所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴求得ω=-3k-1，k∈Z，①
∵所得的函數(shù)也關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{16}$，0）對(duì)稱，
∴$\frac{5π}{16}$ω+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$=k₁π，k₁∈Z，解得：ω=8-48k₁，k₁∈Z，②
由①②結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)可得當(dāng)k=-3，k₁=0時(shí)，可得ω的值為8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．