Question

4．若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．

Answer 1

分析 （1）法一：由正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，可得y=$\frac{x}{5x-3}$＞0，解得$x＞\frac{3}{5}$.3x+4y=3x+$\frac{4x}{5x-3}$=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
法二：變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）法一：∵正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，∴y=$\frac{x}{5x-3}$＞0，解得$x＞\frac{3}{5}$．
∴3x+4y=3x+$\frac{4x}{5x-3}$=f（x），
f′（x）=3+$\frac{4（5x-3）-4x×5}{（5x-3）^{2}}$=$\frac{15（x-1）（5x-1）}{（5x-3）^{2}}$，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＞x＞$\frac{3}{5}$時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值為1．
法二：正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，∴$\frac{1}{y}+\frac{3}{x}$=5．
∴3x+4y=$\frac{1}{5}$$（\frac{3}{x}+\frac{1}{y}）$（3x+4y）=$\frac{1}{5}$（13+$\frac{12y}{x}+\frac{3x}{y}$≥$\frac{1}{5}（13+3×2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}）$=5，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴3x+4y的最小值為1．
（2）∵正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，
∴5xy≥$2\sqrt{3xy}$，
解得：xy≥$\frac{12}{25}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=$\frac{6}{5}$時(shí)取等號(hào)．
∴xy的最小值為$\frac{12}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．