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13.已知函數(shù)f(x)=|xex|-m(m∈R)有三個零點,則m的取值范圍為(0,1e).

分析 函數(shù)f(x)=|xex|-m(m∈R)有三個零點,轉(zhuǎn)化為方程|xex|=m有三個不相等的實數(shù)解,即y=m與函數(shù)y=|xex|的圖象有三個交點,利用導(dǎo)數(shù)法分析f(x)=xex的單調(diào)性和極值,進而結(jié)合函數(shù)圖象的對折變換畫出函數(shù)y=|xex|的圖象,數(shù)形結(jié)合可得答案.

解答 解:函數(shù)f(x)=|xex|-m(m∈R)有三個零點,令g(x)=xex,則g′(x)=(1+x)ex,
當(dāng)x<-1時,g′(x)<0,當(dāng)x>-1時,g′(x)>0,
故g(x)=xex在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,+∞)上是減函數(shù),
g(-1)=-1e,
又由x<0時,g(x)<0,當(dāng)x>0時,g(x)>0,
故函數(shù)y=|xex|的圖象如下圖所示:

故當(dāng)m∈(0,1e)時,y=m與函數(shù)y=|xex|的圖象有三個交點,
即方程|xex|=m有三個不相等的實數(shù)解,
故m的取值范圍是(0,1e),
故答案為:(0,1e).

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù),函數(shù)的極值的求法,其中結(jié)合函數(shù)圖象的對折變換畫出函數(shù)y=|xex|的圖象,是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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