Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，焦距為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k，m∈R）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$．
①求證：△AOB的面積為定值；
②橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率公式及焦距，即可求得a和c的值，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）①將直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得2m²-4k²=3．由弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，求得丨AB丨及d，根據(jù)三角形的面積公式，化簡即可求得△AOB的面積為定值；
②假設(shè)存在點(diǎn)P，得四邊形OAPB為平行四邊形，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得4m²=3+4k²，聯(lián)立2m²-4k²=3．解得方程組無解，則不存在點(diǎn)P使OAPB為平行四邊形．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，焦距2c=2，則c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=k²×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²，
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
由k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$．$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即y₁y₂=-$\frac{3}{4}$x₁x₂，
∴$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，即2m²-4k²=3．
∵丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{\frac{48（4{k}^{2}-{m}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$．
O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}×\frac{2（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{2}×\frac{24}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．為定值．
∴△AOB的面積為定值；
②若存在平行四邊形OAPB使P在橢圓上，則$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，設(shè)P（x₀，y₀），
則x₀=x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
由于P在橢圓上，則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，從而化簡得$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{12{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}=1$，即4m²=3+4k²，
由k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，知2m²-4k²=3．
$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}=3+4{k}^{2}}\\{2{m}^{2}-4{k}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得方程組無解，
故不存在點(diǎn)P使OAPB為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，這是處理這類問題的最為常用的方法，考查了弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，考查向量加法，考查計(jì)算能力，是高考試卷中的壓軸題，屬于難題．