Question

【題目】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費．
（1）求某戶居民用電費用y（單位：元）關(guān)于月用電量x（單位：度）的函數(shù)解析式；
（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的點80%，求a，b的值；
（3）在滿足（2）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，記Y為該居民用戶1月份的用電費用，求Y的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：當0≤x≤200時，y=0.5x；

當200＜x≤400時，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，

當x＞400時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，

所以y與x之間的函數(shù)解析式為：y=

（2）解：由（1）可知：當y=260時，x=400，則P（x≤400）=0.80，

結(jié)合頻率分布直方圖可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，

∴a=0.0015，b=0.0020

（3）解：由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．

當x=50時，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，

當x=150時，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，

當x=250時，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，

當x=350時，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，

當x=450時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，

當x=550時，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．

故Y的概率分布列為：

Y	25	75	140	220	310	410
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以隨機變量Y的數(shù)學期望

EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5

【解析】（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出．（2）利用（1），結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．（3）由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解頻率分布直方圖的相關(guān)知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．