Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）,（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減,若，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．若，在上單調(diào)遞增．（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，根據(jù)點斜式寫切線過程. 函數(shù)的定義域為，．當(dāng)時，函數(shù)，，．所以曲線在點處的切線方程為,即．（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，關(guān)鍵明確導(dǎo)函數(shù)零點與定義域的關(guān)系，正確判斷導(dǎo)數(shù)符號. 當(dāng)時，,,當(dāng)時,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 因為，等價于.令，等價于“當(dāng) 時，”. 因為當(dāng)時，，所以，因此.

函數(shù)的定義域為，． 1分

（1）當(dāng)時，函數(shù)，，．

所以曲線在點處的切線方程為，

即． 4分

（2）函數(shù)的定義域為．

1.當(dāng)時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． 5分

2.當(dāng)時，，

（�。┤�，

由，即，得或； 6分

由，即，得． 7分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為． 9分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增． 10分

（3）因為存在一個使得，

則，等價于. 12分

令，等價于“當(dāng) 時，”.

對求導(dǎo)，得. 13分

因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

所以，因此. 16分

另【解析】
設(shè)，定義域為，

.

依題意，至少存在一個，使得成立，

等價于當(dāng) 時，. 11分

（1）當(dāng)時，

在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要，

則不滿足題意. 12分

（2）當(dāng)時，令得.

（�。┊�(dāng)，即時，

在上，所以在上單調(diào)遞增，

所以，由得，，所以. 13分

（ⅱ）當(dāng)，即時，

在上，所以在單調(diào)遞減，

所以，由得. 14分

（ⅲ）當(dāng)，即時， 在上，在上，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，等價于或，解得，所以，. 15分

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為. 16分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值