Question

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…滿足a₁=a₂=1，a₃=2，且對(duì)任何自然數(shù)n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，則a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是________．

Answer 1

200
分析：由a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3 可得a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4相減可得a_n+4=a_n，再由已知可推得數(shù)列為，1，1，2，4循環(huán)出現(xiàn)，故可求解a₁+a₂+…+a₁₀₀的值
解答：∵對(duì)任何自然數(shù)n，都有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3 ①∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，②
②-①，得a_na_n+1a_n+2（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，即（a_n+4-a_n）（a_na_n+1a_n+2-1）=0
由已知a_na_n+1a_n+2≠1，即a_na_n+1a_n+2-1≠0，只能a_n+4-a_n=0，即得a_n+4=a_n．
又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a₁=a₂=1，a₃=2，得a₄=4．
故數(shù)列為，1，1，2，4的循環(huán)出現(xiàn)
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（1+1+2+4）=200．
故答案為：200
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的求和問(wèn)題，由題意推出故數(shù)列為，1，1，2，4的循環(huán)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．