Question

6．已知命題：在平面直角坐標系xOy中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，△ABC的頂點B在橢圓上，頂點A，C分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為e，則$\frac{sinA+sinC}{sinB}=\frac{1}{e}$，現(xiàn)將該命題類比到雙曲線中，△ABC的頂點B在雙曲線上，頂點A、C分別為雙曲線的左、右焦點，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$．雙曲線的離心率為e，則有$\frac{{|{sinA-sinC}|}}{sinB}=\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，對于雙曲線的離心率可以通過定義表示出來，根據(jù)正弦定理把三角形的邊長表示成角的正弦．

解答 解：根據(jù)橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提，
平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點A（-c，0）和C（c，0），
頂點B在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上，
雙曲線的離心率是e．
∵$\frac{1}{e}=\frac{a}{c}=\frac{2a}{2c}=\frac{|AB-BC|}{AC}$，
∴由正弦定理可以得到$\frac{1}{e}=\frac{|sinA-sinC|}{sinB}$，
故答案為：$\frac{|sinA-sinC|}{sinB}=\frac{1}{e}$．

點評 本題考查類比推理，解題的關(guān)鍵是利用定義表示出雙曲線的離心率，再利用正弦定理表示出來，是基礎(chǔ)題．