Question

 

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB中點，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如圖.

（Ⅰ）若G為FB的中點，求證：AG⊥平面BCEF；

（Ⅱ）求二面角C—AB—F的正切值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）因為AF＝BF，∠AFB＝60°，△AFB為等邊三角形.

又G為FB的中點，所以AG⊥FB.                                              （2分）

在等腰梯形ABCD中，因為E、F分別是CD、AB的中點，

所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，則EF⊥平面ABF，

所以AG⊥EF.                                                                （4分）

又EF與FB交于一點F，所以AG⊥平面BCEF.                                   （5分）

（Ⅱ）解法一：連接CG，因為在等腰梯形ABCD中，

CD＝2，AB＝4，E、F分別是CD、AB中點，

所以EC＝FG＝BG＝1，從而CG∥EF.

因為EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF.                                           （7分）

過點G作GH⊥AB于H，連結(jié)CH，據(jù)三垂線定理有CH⊥AB，所以∠CHG為二面角C—AB—F的平面角.                                                                  （9分）

因為Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝.                        （10分）

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，所以CG＝1.                      （11分）

在Rt△CGH中，tan∠CHG＝＝，故二面角C—AB—F的正切值為.  （12分）

解法二：如圖所示建立空間直角坐標系，由已知可得，

點B(2，0，0)，A(1，0，)，C(1，1，0).                                     （7分）

因為EF⊥平面ABF，所以＝（0，1，0）為

平面ABF的一個法向量.                                                      （8分）

設(shè)＝（x，y，z）為平面ABCD的法向量，

因為，，

由，，得

，  即.

令，則，z＝1，所以＝(，，1).                         （10分）

所以cos<，>＝＝.                                         （11分）

從而tan<，>＝，故二面角C—AB—F的正切值為.                （12分）