Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函數(shù)y=2x-35的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取得最小值？

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并能證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）由${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，利用配方法能求出S_n的最小值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函數(shù)y=2x-35的圖象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-35，∴${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-35=-33，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-35n-[2（n-1）²-35（n-1）]=4n-37，
n=1時(shí)，4n-7=-33=a₁，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4n-37．
∵a_n-a_n-1=（4n-37）-[4（n-1）-37]=4，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）∵${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$=2（n-$\frac{35}{4}$）²-$\frac{1225}{8}$，
∴當(dāng)n=9時(shí)，S_n取得最小值S₉=-153．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)及配方法的合理運(yùn)用．