Question

5．設數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函數y=2x-35的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式并證明數列是等差數列．
（2）當n為何值時，S_n取得最小值？

Answer 1

分析 （1）推導出${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，由此能求出數列{a_n}的通項公式，并能證明數列{a_n}是等差數列．
（2）由${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，利用配方法能求出S_n的最小值．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函數y=2x-35的圖象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-35，∴${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，
∵當n=1時，a₁=S₁=2-35=-33，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-35n-[2（n-1）²-35（n-1）]=4n-37，
n=1時，4n-7=-33=a₁，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=4n-37．
∵a_n-a_n-1=（4n-37）-[4（n-1）-37]=4，n≥2，
∴數列{a_n}是等差數列．
（2）∵${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$=2（n-$\frac{35}{4}$）²-$\frac{1225}{8}$，
∴當n=9時，S_n取得最小值S₉=-153．

點評 本題考查數列的通項公式及等差數列的證明，考查數列的前n項和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質及配方法的合理運用．