Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）已知f（1）=-$\frac{a}{2}$．
①若f（x）＜1的解集為（0，3），求f（x）的表達(dá)式；
②若a＞0，求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．
（2）已知a=1，若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點(diǎn)，且x₁，x₂∈（m，m+1），其中m∈R，求f（m）f（m+1）的最大值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)不等式的解集與方程的根的關(guān)系求解可得．
②分類討論：當(dāng)c=0時f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0；當(dāng)c＞0時f（0）•f（1）＜0，當(dāng)c＜0時，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，結(jié)合根的存在性定理判斷；
（2）設(shè)f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），得到f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]，再利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）①f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，
即b+c=-$\frac{3a}{2}$，
由f（x）＜1的解集為（0，3），
∴-$\frac{a}$=3，$\frac{c-1}{a}$=0，
即a=$\frac{2}{3}$，b=-2，c=1，
∴f（x）=$\frac{2}{3}$x²-2x+1；
②證明：f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
∵a＞0，∴f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，f（0）=c，b+c=-$\frac{3a}{2}$，
當(dāng)c=0時f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0，
當(dāng)c＞0時f（0）•f（1）＜0，
當(dāng)c＜0時，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，
根據(jù)根的存在性定理，結(jié)合①②③可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)；
（2）不妨設(shè)f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），
由m-x₁＜0，m-x₂＜0，m+1-x₁＞0，m+1-x₂＞0，
∴f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）
=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]
≤（$\frac{{x}_{1}-m+m+1-{x}_{1}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{2}-m+m+1-{x}_{2}}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=m+$\frac{1}{2}$時取等號，
∴f（m）f（m+1）的最大值為$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評 本題本題考查了不等式與函數(shù)的關(guān)系，分類討論求解函數(shù)零點(diǎn)問題，在求解過程中注意基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題..