Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=x-3．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=2x-4上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，再設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，利用MA=2MO，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題設(shè)，圓心C在y=x-3上，也在直線y=2x-4上，2a-4=a-3，∴a=1，∴C（1，-2）．
∴⊙C：（x-1）²+（y+2）²=1，
由題，當(dāng)斜率存在時(shí)，過A點(diǎn)切線方程可設(shè)為y=kx+3，即kx-y+3=0，則

|k+5|

1+k2

=1，解得：k=-

12

5

，…（4分）
又當(dāng)斜率不存在時(shí)，也與圓相切，∴所求切線為x=0或y=-

12

5

x+3，
即x=0或12x+5y-15=0…（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)C（a，a-3），M（x₀，y₀），則
∵M(jìn)A=2MO，A（0，3），O（0，0），
∴x02+(y0-3)2=4(x02+y02)，即x02+y02=3-2y0，
又點(diǎn)M在圓C上，∴(x0-a)2+(y0-a+3)2=1，
∴M點(diǎn)為x02+y02=3-2y0與(x0-a)2+(y0-a+3)2=1的交點(diǎn)，…（9分）
若存在這樣的點(diǎn)M，則x02+y02=3-2y0與(x0-a)2+(y0-a+3)2=1有交點(diǎn)，
即圓心之間的距離d滿足：1≤d≤3，∴1≤

a2+(a-4)2

≤3，即1≤2a²-8a+16≤9，
解得：

4- 2

2

≤a≤

4+ 2

2

…（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．