Question

已知函數(shù)f(x)=

f1(x)；x∈[0， 1 2 ) f2(x)；x∈[ 1 2 ，1]

．其中f1(x)=1-2(x-

1

2

)2，f2(x)=-2x+2
（1）求函數(shù)的最大值和最小值
（2）若x0∈[0，

1

2

)，x1=f(x0)，f(x1)=x0，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）由分段函數(shù)的特點，分別代入可得取值范圍，綜合可得；
（2）由x₀的范圍，選擇解析式可得x₁，再由x₁的范圍可選解析式，代入可得x₀的方程，解之即可．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，

1

2

)時，f(x)=1-2(x-

1

2

)2在[0，

1

2

)上增，∴

1

2

≤f(x)＜1，
而當(dāng)x∈[

1

2

，1]時，f（x）=-2x+2減，∴0≤f（x）≤1
綜上可得：f（x）的最大值為1，最小值為0；
（2）x0∈[0，

1

2

)，x1=f(x0)=1-2(x0-

1

2

)2，
由上得x1∈[

1

2

，1)，∴f（x₁）=-2x₁+2=2-2[1-2(x0-

1

2

)2]=x0，
整理可得4x02-5x0+1=0，解得x0=1或x0=

1

4

，
由條件得x0=

1

4

即為所求．

點評：本題考查分段函數(shù)的最值問題，分段代入是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．