Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，求a₄、a₂₀、a₁₀₀的值．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：計算題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，可得從第2項起，分子為2，3，5，8，…，通項為

n2-3n+6

2

；分母為1，2，3，5，…，通項為

n2-3n+4

2

，從而可得a_n=1+

2

n2-3n+4

（n≥2），即可求a₄、a₂₀、a₁₀₀的值．

解答： 解：∵數列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，
∴a₂=2，a₃=

3

2

，a₄=

5

3

，a₅=

8

5

，
從第2項起，分子為2，3，5，8，…，通項為

n2-3n+6

2

；
分母為1，2，3，5，…，通項為

n2-3n+4

2

，
∴a_n=1+

2

n2-3n+4

（n≥2），
∴a₂₀=

273

272

；a₁₀₀=

4853

4852

．

點評：本題考查數列遞推式，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．