【題目】已知函數,
(Ⅰ)若在函數的定義域內存在區(qū)間,使得該函數在區(qū)間上為減函數,求實數的取值范圍;
(Ⅱ)當時,若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點,求實數的值或取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)對函數求導,由函數在區(qū)間上為減函數,等價于在上有解,對進行分類討論,從而可得實數的取值范圍;(Ⅱ)根據導數的幾何意義求得切線的方程,由切線與曲線有且只有一個公共點,等價于方程在上有且只有一解,從而設,則在上有且只有一個零點,求出函數有零點,然后討論當時,時,利用導數研究函數的單調性,利用函數的零點,即可求出實數的值或取值范圍.
詳解:(Ⅰ)因為.
依題意知在上有解.
當時顯然成立;
當時,由于函數的圖象的對稱軸,
故需且只需,即,解得,故.
綜上所述,實數的取值范圍為.
(Ⅱ)因為,,故切線的方程為,即.
從而方程在上有且只有一解.
設,則在上有且只有一個零點.
又,故函數有零點.
∵.
當時,,又不是常數函數,故在上單調遞增.
所以函數有且只有一個零點,滿足題意.
當時,由,得或,且.
由,得或;
由,得.
所以當在上變化時,,的變化情況如下表:
增 | 極大值 | 減 | 極小值 | 增 |
根據上表知.
而函數.
所以,故在上,函數又存在一個零點,不滿足題意.
綜上所述,.
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【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數是老年職工人數的2倍。為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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【題目】已知函數有如下性質:如果常數,那么該函數在上是減函數,在是增函數,其圖像如圖所示.
(1)已知,,利用上述性質,求函數的單調區(qū)間和值域;
(2)對于(1)中的函數和函數,若對任意,總存在,使得成立,求實數的值.
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【題目】現(xiàn)有個小球,甲、乙兩位同學輪流且不放回抓球,每次最少抓1個球,最多抓3個球,規(guī)定誰抓到最后一個球贏.如果甲先抓,那么下列推斷正確的是_____________.(填寫序號)
①若,則甲有必贏的策略; ②若,則乙有必贏的策略;
③若,則甲有必贏的策略; ④若,則乙有必贏的策略.
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【題目】某大型水果超市每天以元/千克的價格從水果基地購進若干水果,然后以元/千克的價格出售,若有剩余,則將剩下的水果以元/千克的價格退回水果基地,為了確定進貨數量,該超市記錄了水果最近天的日需求量(單位:千克),整理得下表:
日需求量 | |||||||
頻數 |
以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.
(1)求該超市水果日需求量(單位:千克)的分布列;
(2)若該超市一天購進水果千克,記超市當天水果獲得的利潤為(單位:元),求的分布列及其數學期望.
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