Question

5．判斷函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的單調(diào)性，并運用單調(diào)性定義予以證明．

Answer 1

分析 f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的單調(diào)遞減，[1，+∞）上單調(diào)遞增．運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個步驟．

解答 解：f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的單調(diào)遞減，[1，+∞）上單調(diào)遞增．
理由如下：設(shè)0＜m＜n，則f（m）-f（n）=（m+$\frac{1}{m}$）-（n+$\frac{1}{n}$）
=（m-n）-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{m}$）=（m-n）（1-$\frac{1}{mn}$），
①0＜m＜n＜1，則m-n＜0，mn＜1，即mn-1＜0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上的單調(diào)遞減．
②1≤m＜n，則m-n＜0，mn＞1，即mn-1＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則有f（x）=x+$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，注意運用定義法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．