【題目】已知點F為拋物線E:x2=4y的焦點,直線l為準(zhǔn)線,C為拋物線上的一點(C在第一象限),以點C為圓心,|CF|為半徑的圓與y軸交于D,F(xiàn)兩點,且△CDF為正三角形.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為l上任意一點,過P作拋物線x2=4y的切線,切點為A,B,判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系.

【答案】解:(I)由已知F(0,1),設(shè)圓C的半徑為r, 因為△CDF為正三角形,C( r,|r﹣1|),
因為點C在拋物線x2=4y上,
r2=4r﹣4 即3r2﹣16r+16=0,
解得r=4或r=
所以圓C的方程為C1:(x﹣2 2+(y﹣3)2=16,
或C2:(x﹣ 2+(y﹣ 2=
(II)(方法一)
因為準(zhǔn)線l為y=﹣1,設(shè)P(t,﹣1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),
因為y= ,所以y′=
A(x1 , y1)為切點的切線方程為:y﹣y1= (x﹣x1),y1= ,即y= x﹣y1
因為切線過P(t,﹣1),得﹣1= t﹣y1 , ①
同理可得﹣1= t﹣y2 , ②
所以直線AB方程為﹣1= xt﹣y,即tx﹣2y+2=0,
圓心C1(2 ,3),r1=4,C1到直線距離d1=
可得d12﹣16= ≤0
所以t=﹣2 時,d1=4,直線AB與圓C1相切.
t≠﹣2 時,d1<4直線AB與圓C1相交.
所以直線AB與圓C2相交或相切.
同理可證,直線AB與圓C2相交或相切.
所以直線AB與圓C1 , C2相交或相切.
(注:因為直線AB過定點f(0,1),且斜率 ∈R
因為F(0,1)在圓C1 , C2相上,所以直線AB與圓C1 , C2相交或相切.這樣答扣1分)
(方法二)設(shè)設(shè)P(t,﹣1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),
直線AB的方程為y=kx+b,代入拋物線E的方程得x2﹣4kx﹣4b=0 所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,
因為y= ,所以y′= ,
A(x1 , y1)為切點的切線方程為:y﹣y1= (x﹣x1),y1= ,即y= x﹣ ,①
B(x2 , y2)為切點的切線方程為y= x﹣
聯(lián)立①②得
所以 所以
所以直線AB方程為y= xt+1,
以下與(方法一)相同
【解析】(Ⅰ)求出點C的坐標(biāo),再代入到拋物線的解析式中求出半徑,問題得以解決;(Ⅱ)設(shè)P(t,﹣1),A(x1 , y1),B(x2 , y2),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義,求出A,B為切點的切線方程,即可得到直線AB的方程,再利用點到直線的距離,和半徑的關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系.

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